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McIntosh关于Franel积分和两个概括的猜想的证明
Proofs of McIntosh's Conjecture on Franel Integrals and Two Generalizations
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论文摘要
我们提供了理查德·麦金托什（Richard McIntosh）在1996年对弗拉内尔积分值的猜想的证明，$ \ int_0^1（（ax））（（ax））（（bx））（（cx））（（（ex））\，dx，$ $，其中$（（x））$是第一个定期bernoulli函数。其次，我们扩展了想法，以证明$$ \ int_0^1（（a_1x））的类似定理（（a_2x））\ cdots（（（a__ {n} x））\，dx。$$ 最后，我们证明了进一步的概括，其中$（（x））$被任何特定的bernoulli函数替换为奇数索引。
We provide a proof of a conjecture made by Richard McIntosh in 1996 on the values of the Franel integrals, $$\int_0^1((ax))((bx))((cx))((ex))\,dx,$$ where $((x))$ is the first periodic Bernoulli function. Secondly, we extend our ideas to prove a similar theorem for $$\int_0^1((a_1x))((a_2x))\cdots ((a_{n}x))\,dx.$$ Lastly, we prove a further generalization in which $((x))$ is replaced by any particular Bernoulli function with odd index.
