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内部连续性，连续到边界的连续性以及Harnack的双相椭圆方程的不平等
Interior continuity, continuity up to the boundary and Harnack's inequality for double-phase elliptic equations with non-logarithmic conditions
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论文摘要
我们证明了连续性和Harnack的不平等问题，用于对椭圆方程的有界解决方案的类型\ begin {aTigned} {\ rm div} \ big（| \ nabla U |^{p-2} \，\ nabla U+a（x） a（x）\ geqslant0，\\ | a（x）-a（y）| \ leqslant a | x-y |^αμ（| x-y |），＆\ quad x \ neq y，\ neq y，\\ {\ rm div} \ big（| \ big [1+ \ ln（1+b（x）\，| \ nabla u |）\ big] \ big）= 0，＆\ quad b（x）\ geqslant0，\\ | b（x）-b（x）-b（y）-b（y）| \ leqslant | \ leqslant b | x-y | \ | x-y | \ | \ y q y y q y y q y y | x y | x y | x y | x y | $ $ $ $ \ begin {Aligned} {\ rm div} \ big（| \ nabla u |^{p-2} \，\ nabla u+c（x）| \ nabla U |^{q-2} {q-2} \ \ nabla u \ nabla u \ big big [1+\ ln（1+\ ln（1+） \ quad c（x）\ geqslant0，\，β\ geqslant0，\ phantom {= 0 = 0 = 0} $μ$。
We prove continuity and Harnack's inequality for bounded solutions to elliptic equations of the type $$ \begin{aligned} {\rm div}\big(|\nabla u|^{p-2}\,\nabla u+a(x)|\nabla u|^{q-2}\,\nabla u\big)=0,& \quad a(x)\geqslant0, \\ |a(x)-a(y)|\leqslant A|x-y|^αμ(|x-y|),& \quad x\neq y, \\ {\rm div}\Big(|\nabla u|^{p-2}\,\nabla u \big[1+\ln(1+b(x)\, |\nabla u|) \big] \Big)=0,& \quad b(x)\geqslant0, \\ |b(x)-b(y)|\leqslant B|x-y|\,μ(|x-y|),& \quad x\neq y, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} {\rm div}\Big(|\nabla u|^{p-2}\,\nabla u+ c(x)|\nabla u|^{q-2}\,\nabla u \big[1+\ln(1+|\nabla u|) \big]^β \Big)=0,& \quad c(x)\geqslant0, \, β\geqslant0,\phantom{=0=0} \\ |c(x)-c(y)|\leqslant C|x-y|^{q-p}\,μ(|x-y|),& \quad x\neq y, \end{aligned} $$ under the precise choice of $μ$.
