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晶格简便器的渐近蜂巢
Asymptotic hollowness of lattice simplices
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论文摘要
$（n-1）$ - 元组$ a =（a（a（1），\ dots，a（n-1））$，据说由正整数组成，如果存在无限的积极整数$ n $，则在$ n $ n $ n $ n $ dim-dim-dimmensional euclideans $ n $ n $ n $ n $ n $中是渐近空心的。 e_ {n-1}，α（n）^t \} $是空心的（其内部没有晶格点），其中$ e_i $在最后的标准基准元素上除外，而$α（n）$是行$（a（a（a（1），\ dots，\ dots，a dots，a（n-1），a（n-1），n），n）$。如果$ \ min a（i）= 1 $，则元组是微不足道的。非平凡的渐近空心元素是根据模块化不平等的特征，结果很少。我们表明，对于一个元组$ a $，存在有效的可计算常数$ c $（取决于$ a $），以至于对于某些$ n> c $，$ k（α（n））$ is（not）is（not）是空心的，那么对于所有$ m> c $，$ k（α（m））$（分别）Hollow（分别）。当$ n = 4 $时，完全确定了非平凡的渐近空心三元三倍；其中有十一个，以及一个参数家庭。
An $(n-1)$-tuple $a = (a(1), \dots, a(n-1))$ consisting of positive integers is said to be asymptotically hollow if there exist infinitely many positive integers $N$ such that the convex hull, $K(a(n))$, in $n$-dimensional Euclidean space of $\{ 0,e_1, \dots, e_{n-1}, α(N)^T\}$ is hollow (has no lattice points in its interior), where $e_i$ run over all but the last standard basis elements, and $α(N) $ is the row $(a(1), \dots, a(N-1), N)$. The tuple is trivial if $\min a(i) = 1$. Nontrivial asymptotically hollow tuples are characterized in terms of modular inequalities, and turn out to be rare. We show that for a tuple $a$, there exists an effectively computable constant $C$ (depending on $a$) such that if for some $N > C$, $K(α(N))$ is (not) hollow, then for all $M > C$, $K(α(M))$ is (not) hollow (respectively). When $n = 4$, the nontrivial asymptotically hollow triples are completely determined; there are eleven of them, together with a one-parameter family.
